Планиметрия. Как доказать?

Question

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая окружность проходит через точку O - центр большей окружности. Докажите, что KO - диаметр меньшей окружности.

Answer 1

Доказательство от противного. Допустим, что КО не диаметр малой окружности, а хорда, отличная от диаметра. Тогда она встречается с малой окружностью в точке К под не прямым углом. А значит и с большой встречается не под прямым углом (они же в этой точке касаются одна другой) . А значит О не центр большой окружности. Что противоречит условиям задачи.

Answer 2

Скоре всего у меня не доказательство, а тут рассуждения. Приведу их:

Пусть имеются две окружности с центрами O1 и O2 - и пусть касаются они внутренним образом в некоторой точке K. Для доказательства вашего утверждение необходимо понять, что такое внутренние касание. Обозначим r1 и r2, сответственно, радиусы выше указанных окружностей. Если касаются внутренним образом, то вторая окружность лежит в первой окружности, что легко описать неравенством 0 r2 r1. Теперь нам необходимо доказать самое очевидное: KO - диаметр меньшей окружности. Для этого проводим прямую из точки O1 (O) в точку касания обеих окружностей K. Где бы ни находилась вторая (меньшая) окружность, ясно, что прямая O1O2 лежит на той же прямой O1K. Следовательно, точки O1, O2, K лежат на одной прямой. Из этого следует, что прямые O1K и O1O2 являются параллельными прямыми. Хорошо, рассмотрим отрезок O2K e O1K (принадлежащий нашей прямой) Очевидно, что он является радиусом меньшей окружности, т. е. |O1K| = r2. Так как прямая O1K является радиусом большей окружности. Пользуясь тем, что вторая окружность проходит через центр первой окружности заключаем, что 2|O1K| = r1, что позволит нам закончить логическое рассуждение: r2 = 2r1 = d2. Введя систему кординат в точке O (для большего удобства) . Очевидно, что в той же точке O будет начало системы кординат x, y. Пусть в нашей системе кординат точка O2 имет кординаты x1 и y1, а K имет кординаты x2 и y2. Находим вектор O1K (x2, y2) . Его длина - длина нашей прямой O1K, которая равна радиусу большой окружности. Аналогично находим вектор O1O2 (x1, y1) . Также из выше изложенного следует, что векторы параллельны (коллинеарны) , это влечет пропорциональность их кординат, то есть найдется такое число k 0, что имет место равенства x2 = k * x1, y2 = k * y1. Кроме того, x2/x1 = y2/y1 = k. В нашем случае, это число равняется двум, что очевидно из чертежа. Следовательно,

r2 = r1/2 = sqrt (x2^2+y2^2) /2 = ksqrt (x1^2+y1^2) /2 = sqrt (x1^2+y1^2) .

Answer 3

Проведите касательную КМ к обоим окружностям. Пусть центр малой окружности О1. КМ перпендикулярен и ОК, и О1К (Теорема: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому к точке касания) . Отсюда следует, что О1 лежит на ОК (Теорема: из одной точки на прямой можно восстанавливать лишь один перпендикуляр к этой прямой) . Значит, ОК есть диаметр малой окружности.