В чём смысл счётных и несчётных множеств. Какое значение это имет для математики?

Question

Я вот считаю, что действия в доказательстве существования несчётных множеств диагональным методом, это нечто из разряда шарлатанства (то есть выполняются неправомерные действия) . Разумется в таком случае следует задаться вопросом, а каков вобще практический смысл такого вот знания? Есть ли что-то в математике, что стало возможным решить благодаря открытия несчётных бесконечностей?

Поясню зачем спрашиваю: если ничего полезного в этом нет, тогда можно со спокойной душой и чистой совестью остаться при своём мнении (ведь я от этого ничего не потеряю, потому как нету смысла в пустом знании, ещё и настолько абстрактном) . Если же что-то такое есть, тогда, видимо, именно в этом и нужно разбираться (почему это не решается без указанного знания. что раньше не сходилось, а теперь сходится)

Answer 1

Смысл в том, что многие свойства, верные для счётных множеств, оказываются неверными для несчётных. Поэтому никак не различать множества, содержащие бесконечное число элементов, было бы очень неудобным для математики.

Например, любые два счётных множества можно сопоставить друг другу взаимно однозначным сответствием. Классический тому пример: множество натуральных и рациональных чисел (на первый взгляд это кажется невероятным) . Для счётного и несчётного множества такого сответствия не существует, и даже далеко не для всех двух несчётных множеств.

Вот тут и просматривается аналогия с рациональными и ирациональными числами: например, сумма любых двух рациональных чисел всегда рациональна, одного рационального и одного ирационального - всегда ирациональна, а для двух ирациональных чисел может быть и так и этак.

Кроме того, значение деления множеств на счётные и несчётные есть в элементарной теории вероятности: вероятностные законы для этих типов множеств совсем разные. Классическое определение вероятности уже разное для этих двух множеств. А раз разные фундаменты, то и вся базирующаяся на них теория будет разной, хотя и похожей.