что такое последовательность частичных сумм? можно с примером пж

Answer 1

n-й частичной суммой ряда называется сумма всех его членов от 1 до n.
При этом первой частичной суммой называется просто 1-й член ряда.

Иначе говоря, если дан ряд a1 + a2 + a3 + (многоточие) +an + (многоточие)

То S (1) = a1, S (n) = S (n-1) + an.

Частичные суммы S1, S2, Sn образуют числовую последовательность, которая и называется последовательностью частичных сумм.

Для исследования многих свойств ряда и, в частности, важного свойства сходимости-расходимости исследуют его последовательность частичных сумм, через которую даётся определение сходящегося или расходящегося ряда. Поэтому изучение числовых рядов является формой изучения числовых последовательностей, т. к. каждому числовому ряду можно сопоставить и притом единственную числовую последовательность - последовательность его частичных сумм, и наоборот.

Пример. Пусть дан ряд (геометрическая прогрессия) :

1/2 + 1/4 + 1/8 + (многоточие) /2^n + (многоточие)

Его 1-я частичная сумма равна просто первому члену ряда, т. е. S1 = 1/2
2-я частичная сумма равна сумме 1-й частичной суммы и 2-го члена ряда: S2 = 1/2 + 1/4 = 3/4
3-я частичная сумма равна сумме 2-й частичной суммы и 3-го члена ряда: S3 = 3/4 + 1/8 = 7/8.

И так дале.

Получается числовая последовательность - последовательность частичных сумм числового ряда:

1/2, 3/4, 7/8, (многоточие)

Общий член последовательности равен Sn = (2^n - 1) / 2^n.

Легко видеть, что эта последовательность сходится, и её предел равен 1. По определению ряд, имеющий эту последовательность частичных сумм, также называется сходящимся и имет сумму, равную 1.