Геометрическая задача на утреннюю разминку.

Question

В треугольнике АВС, в котором АВ больше ВС, проведена медиана ВМ. Докажите, что уг. ВМС острый.

Answer 1

Один из вариантов доказательства:
Продолжим меньшую сторону ВС до длины АВ (точка D) , а на большей (АВ) , от точки В отложим длину стороны ВС (точка Е) . Таким образом у нас получится два равнобедренных (подобных) треугольника с общей вершиной В (треугольники ABD и EBC) , причем AD параллельно ЕС и четырехугольник AECD является равнобедренной трапецией. АС является в ней диагональю. Проведем в трапеции вторую диагональ ED. Теперь легко доказать, что точка пересечения диагоналей (О) равнобедренной трапеции лежит ближе к меньшему основанию, чем их середины (совпадает с серединой только в случае слияния оснований) . Проведем из угла В прямую через точку пересечения О. Она будет высотой в равнобедренных треугольниках и трапеции. Отсюда легко доказать, что угол ВОМ тупой, а, следовательно, угол ВМС - острый.
Доказательство верно для любого угла В (меньше 180 градусов) .
Совпадает ли этот вариант с одним из ваших? Я думаю, что вариантов доказательств можно придумать больше 3-х. Зависит от дополнительных построений и промежуточных лемм.