Нужен грубый математический метод вычисления сопротивления схемы из резисторов, подлежащий запихиванию в алгоритм.

Question

Навеяно Предположим, есть такая задача: дан неориентированный взвешенный граф, где рёбра - это резисторы с сопротивлением, равным весу ребра, а вершины - куски идеального проводника. Нужно вычислить сопротивление между некоторыми двумя заданными вершинами. Понятно, что выстраивать тут эквивалентные схемы и находить параллельные и последовательные куски не выйдет, т. к. граф может быть какой угодно, в том числе и кошмарище, напоминающе клубок из жилок сатаны. Нужно выстроить алгоритм, который будет решать эту задачу. Какой? Где-то далеко в мыслях крутится что-то про вычисление потенциалов для каждой вершины графа, но как это сделать и что с ними делать дальше, я пока придумать не могу, т. к. это лежит очень далеко за рамками изученной мною школьной программы.

Answer 1

В каждой вершине обозначаешь какой-то буквой значение потенциала. На каждом ребре обозначаешь какой-то буквой значение тока. Число таким образом введённых переменных - очевидно. Для каждой вершины записываешь первый закон Кирхгофа (сумма токов с учётом направлений равна нулю) . Для каждого ребра записываешь закон Ома (разность потенциалов - произведение тока на сопротивление) . Если там ещё источник есть - то и источник легко в это уравнение вписывается. Число таким образом записанных уравнений тоже очевидно и равно числу переменных. Получаешь систему линейных уравнений, число уравнений у тебя равно числу неизвестных. Легко решаешь (компьютеру реально наплевать на громоздкость метода Гаусса) . Получаешь ток по любой ветке и разность потенциалов между любыми точками. Чтобы определить сопротивление между двумя точками при таком подходе нужно поступать так же, как в реальности - подключаешь источник напряжения между точками (вводишь ещё одно ребро в свой граф) и рассчитываешь ток через подключённый источник (через это введённое ребро) . Да, это никак не помогает в построении эквивалентных схем. Хочешь поиграться такой программой вживую - - для простых схем нажимай "Схемы" - "Основные" - "Резисторы".