Почему число L является пределом функции f (x) ?

Answer 1

У вас неверная формулировка.
Но её можно спасти так: "предел в точке а".
Почему? потому что такое определение предела функции в точке (одно из, "на языке эпсилон-дельта") .

Answer 2

Предел в точке a. Картинка нарисована неправильно.

Нужно проиллюстрировать, что для любой окрестности точки L существует проколотая окрестность точки a, которая является подмножеством пробраза указанной окрестности точки L.

А рисунок нарисован так, будто проколотая дельта-окрестность точки a обязана совпадать с пробразом окрестности точки L.

PS.
"Ведь предел- это то, к чему стремится функция, но не достигает. " - это вы сами придумали? Большинство привычных вам "хороших" функций непрерывны почти всюду на области определения - т. е. почти в любой точке области определения значение функции равно е пределу в этой точке. Хоть и можно, конечно, построить пример функции, разрывной в каждой точке.