какие правила английского языка указывают на то, что здесь нужно артикли (те что в скобках) ?

Answer 1

Вам нужны не правила, а просто заучить наизусть, что такое артикли. И список случаев, когда они употребляются.

the day today - конкретный сегодняшний день, поэтому с определенным артиклем

lesson of English - где вы такое взяли? звучит что-то типа "английский урок". опр. артикль, потому что только 1 урок последний

девятый месяц - аналогично, ведь в году только 1 девятый месяц

устойчивое сочетание для периодичностью внутри сроков, например, twice a week, twice a day, twice a month, twice a year

Еще раз, возьмите и вызубрите употребление артиклей. Это нужно тупо заучить наизусть один раз и навсегда. Вы забудете эти ответы уже через неделю.