Дано 11 различных целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых делится на 10.

Answer 1

возьмём любых 2 числа и обозначим их a и b.
 (что бы не писать уйму слов, давайте договоримся что mod - это операция определяющая остаток от деления, например 13 mod 5 = 3, 15 mod 5 = 0)

тогда
a mod 10 = c
b mod 10 = d
c и d произвольные числа, пока что нам ещё не известные, но мы можем сказать, что
 (a - c) mod 10 = 0
 (b - d) mod 10 = 0

 (a-c) - (b-d) /10 = n, где n целое число
 (a - b) - (d - c) /10 = n

Значит разница чисел (a - b) делится на 10 нацело в том и только том случае, если (d - c) также делится на 10. Но d и c не больше девяти, так как это максимальный остаток при делении на 10. Потому указанное условие принимает вид
d - c = 0

 (a - b) делится на 10 если остатки от деления a и b на 10 равны. Но таких остатков может быть всего 10 (от 0 до 9) , а значит даже если первые 10 чисел будут давать разные остатки при делении, то остаток от деления 11-ого обязательно совпадёт с одним из первых десяти.

ДОКАЗАНО!

Answer 2

Если речь идёт о десятичной системе счисления, тогда, да - 11 чисел и необходимо и достаточно - доказать наверное можно, но лучше принять в качестве аксиомы.