Должно быть, известно, что из всех р-угольников, вписанных в заданную окружность, наибольшую площадь имет правильный.

Question

. р-угольник. Я попытался доказать это для наиболе простого случая - треугольника.
Имем: R= abc/ (4S) , где R - радиус заданной окружности, a, b, c - стороны треугольника. Отсюда S= abc/ (4R) (1) . Углы, стоящие напротив сторон a, b, c обозначим через х, у, z сответственно. Имем: х0, у0, z0, х+у+z= пи. Из последнего z= пи- (х+у) . С другой стороны a= 2Rsinx, b= 2Rsiny, c= 2Rsinz= 2Rsin (x+y) . Учитывая всё это в (1) , получаем: S= 2R^2*sinx*siny*sin (x+y) , x0, y0, x+yпи. Таким образом, "остаётся" найти максимум функции двух переменных S= f (x, y) . Но дальнейшие выкладки привели меня в такие дебри, что остановился. Может, существует какой-либо способ попроще?

Answer 1

Сформулируем по-другому - общая площадь сегментов, отрезанных стронами п -угольника, минимальна для правильного п-угольника. тогда доказательство общего случая можно вести от дуг на окружности и их сотношений.

Answer 2

берем произвольный многоугольник. смотрим на 3 любые последовательные вершины A, B, C.

треугольник ABC - часть всего многоугольника. Заметим, что если мы сможем так переместить B, что площадь ABC увеличится - мы увеличим и площадь всего многоугольника. То есть, если многоугольник максимальной площади, то любое перемещение В уменьшит площадь.

а теперь нетрудно собразить, что площадь АВС максимальна, когда он равнобедренный (основание то же, высота - максимальна) . Значит у максимального N-угольника все соседние стороны должны быть равны между собой. Значит все стороны равны между собой.