Смотрю на 2 аксиомы и не могу понять следует ли одна из другой (основной вопрос в пояснении)

Question

Не знаю чьи это аксиомы, но гуглятся по запросу "аксиомы геометрии"

Итак, вижу 2 следующие формулировки:
1. 1. Через две различные точки проходит единственная прямая
и
1. 3. Существуют три точки, не принадлежащие одной прямой

Но разве из первой не следует вторая? Ведь если через 2 точки можно провести только одну прямую, то проведя прямую через первую и вторую точку и через первую и третью, мы уже получим 2 прямых. Если они не являются идентичными (то есть если не являются по сути одной прямой) , то каждая из них не может пройти через три точки, ведь тогда получится что через какую-то из пар точек провели сразу 2 прямые.

Таким образом, если существует по меньшей мере 2 прямых, и через 2 точки можно провести единственную прямую, то существует 3 точки не лежащие на одной прямой.

Или эта аксиома и была направлена на то, что бы сказать, что существует по меньшей мере 2 прямых? просто странное утверждение, учитывая что геометрия орудует понятием плоскость, которая требует существования множества прямых, иначе сама существовать не может (не будет цельной, потому что будут участки, через которые невозможно провести прямую)

Answer 1

Откажись от второй аксиомы и подумай, удовлетворяет ли геометрия на ПРЯМОЙ аксиомам планиметрии. Ну или геометрия на одной точке. А лучше - вобще на пустом множестве точек.

PS. Прикол в том, что в школьных аксиомах стереометрии была какая-то жопа с аксиомами существования. В школьной планиметрии они есть, а в школьной стереометрии их нет. Вроде. Не помню уже, нужно поднимать школьный курс и перепроверять. Но аксиоматики друг на друга не похожи - мне это когда-то резануло глаз.