Зачем нужны аксиомы? (обязательно читать пояснение)

Question

Всегда удивлялся в школе, когда учителя говорили "аксиомы не нуждаются в доказательстве". Всегда считал это необоснованным, потому что как можно быть уверенным в том, что что-то происходит определённым образом, если мы этого не доказали? (не останавливайтесь, читайте дальше. это не основная мысль)

И вот уже закончив школу и как-то однажды лёжа на диване и рассуждая по поводу математики, её устройства, теорем, аксиом и прочего я сделал для себя интересное открытие. Ведь на самом деле аксиома - это определение некоторого термина, только в обратной формулировке. Так, если бы давая определение параллельности мы бы сказали "Параллельные прямые - это прямые, которые не пересекаются", то аксиома заходит с обратной стороны и утверждает "Параллельные прямые не пересекаются".

Таким образом я не понимаю, зачем нам аксиомы, если мы на самом деле оперируем всё теми же определениями. И если аксиома не базируется на новом термине, а использует исключительно введённые другими аксиомами, то она избыточна, а как следствие может вести к противоречию.

И если считать что аксиома = определение нового термина, то тогда всё становится ясно и понятно. Разумется терминология не нуждается в обосновании, ведь как обзовём, так и будем использовать.

Я неправ? А если прав, то зачем же нам аксиомы, почему не обойтись обычным словарём математических терминов?

Answer 1

Это с Википедии:
Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного сображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами.