Очень сложная задача по математике (СУНЦ МГУ) , я решил подбором, но не уверен, что это единственное решение.

Question

Катя купила 16 тетрадей и 5 ручек за 143 рубля. Цена тетради отличается от цены ручки не боле чем на 7 рублей, причем каждый из предметов стоит целое число рублей. Сколько суммарно стоят 1 тетрадь и 1 ручка?

Answer 1

комплект = ручка+тетрадь
5к1т=143
кт
5к=143-11т должно делиться на 5 т. е т=[3, 8, 13]
других вариантов нет.
т=3, к=22, к-т7
т=8, к=11 - всем условиям удовлетворяет

Answer 2

Решение подбором вобще не является решением. это угадывание

Как только в задаче видим "целое число рублей (или попугаев, или ещё чего-то) ", то сразу надо понимать что мы работаем не с полем, а с кольцом (где операция деления не всегда позволена) . Именно оценивая делимость чисел и решаются такие задачи.

16x + 5y = 143

разложим 143 на простые множители, тогда
16x + 5y = 11*13
16* (x+y) - 11y = 11*13
16/11* (x+y) - y = 13
16/11* (x+y) = 13+y
по условию задачи y целое число, а значит 13+y тоже целое, из чего следует, что (x+y) делится на 11

пускай x+y = 11*n, где n - целое число, тогда
16x + 5y = 5*11n + 11x = 11*13
5n + x = 13
n = 2. 6 - x/5

Тогда n может быть равно только или 1 или 2:
5*1 + x = 13 = x = 8; y = 3
5*2 + x = 13 = x = 3; y = 19 - не подходит по условию, потому что разница между x и y больше 7

Ответ у задачи 1: x = 8; y = 3; То есть за тетрадь 8 рублей, а за ручку 3