что такое гомеоморфизм

Answer 1

Это биекция, при которой пробраз и образ всякого открытого множества открыт.
Проще говоря, взаимно-однозначное отображение, непрерывное в обе стороны, т. е. сохраняюще топологию.

Answer 2

Чаще всего он используется в дифференциальной геометрии и представляет там из себя отображение или функцию (см. определение функции) , при этом эта функция должна иметь обратную функцию, то есть якобиан её должен быть отличен от нуля, функции прямая и обратная должны быть непрерывны и взаимно однозначны.
Области связанные гомеоморфизмами считаются тождественными, а сами гомеоморфизмы задают коэффициенты метрики.