Насколько потребовалось уменьшить радиус орбиты?

Answer 1

Начнем с выяснения, почему радиус орбиты спутника с прожектором вобще должен быть меньше при том же периоде. Так как на спутнике установлен направленный прожектор, то спутник представляет собой фотонную ракету (хотя и очень малой мощности) , двигатель которой постоянно включен и придает спутнику дополнительное ускорение вверх, вследствие чего эффективное ускорение силы тяжести для спутника оказывается меньше, чем обычное. Ускорение при движении по круговой орбите может быть вычислено как $\displaystyle g = \frac{GM}{R^2}, $ где $ G $ - гравитационная постоянная, $ M $ - масса Марса, $ R $ - радиус орбиты. Так как изменения ускорения и радиуса орбиты малы, можно вычислить дифференциалы обеих частей равенства. При малом изменении радиуса орбиты $ dR $ изменение ускорения составит $\displaystyle dg = -2 \frac{GM}{R^3} \, dR, $ или $\displaystyle dR = - \frac{R^3}{2GM} \, dg. $ Отметим, что аналогичный результат можно получить и без использования дифференциалов, однако запись промежуточных выкладок станет боле громоздкой. Изменение ускорения $ dg $ можно получить следующим образом. Каждый фотон с энергией $ h\nu $ ($ \nu $ - частота фотона, $ h $ - постоянная Планка) , покинувший прожектор, придает прожектору импульс $ h\nu/c $, направленный в сторону, противоположную направлению вылета фотонов ($ c $ - скорость света) . Если мощность излучения прожектора $ L $, то за единицу времени прожектор получит импульс $ L/c $, а импульс, переданный телу за единицу времени - это сила, которая на него действует. Т. о. сответствующе ускорение $\displaystyle dg = \frac{L}{c \cdot m}, $ где $ m $ - масса спутника с прожектором. Осталось вычислить выражение $ \frac{R^3}{2GM} $ для ареостационарной орбиты. Записывая для не III закон Кеплера $\displaystyle \frac{P^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM}, $ получаем, что $\displaystyle \frac{R^3}{2GM} = \frac{P^2}{8\pi^2}. $ Итоговое выражение имет вид: $\displaystyle dR = - \frac{P^2}{8\pi^2} \cdot \frac{L}{c \cdot m}, $ при подстановке данных получаем численный ответ: разность радиусов орбит составляет примерно 3 км.