Question

Как доказать, что квадрат любого простого числа большего тройки, при делении на 6 даёт остаток 1?

Answer 1

утверждение: пусть р3 - произвольное простое число (1) . разделим это р на 6, тогда по теореме о делении с остатком получаем p=6k+r, где остаток r может принимать значения r=1, 2, 3, 4, 5. рассмотрим все случаи;
r=1, p=6k, сответствует (1)
r=2, p=6k+2, делится на 2, противоречит (1)
r=3, p=6k+3, делится на 3, противоречит (1)
r=4, p=6k+4, делится на 2, противоречит (1)
r=5, p=6k+5=6k+ (6-1) =6 (k-1=6m-1, сответствует (1)
отсюда следует что любое простое число имет вид 6n+-1.
отсюда следует что (6n+-1) ^2=36n^2+-12n=6n (6n+-2) при делении на 6 дает остаток 1.