Question

Что общего между разложением функции в ряд Фурье и разложением вектора в евклидовом пространстве

Answer 1

По-моему - только слово "разложение" - и то, что оно означает в самом широком смысле слова.

Нечто можно представить в виде суммы неких исходных компонент. При этом количество компонент и определение операции "суммы" теоретически может быть любым.
В таком случае, представление этого "нечта" в виде этой "суммы" можно назвать "разложением" по всем "слагаемым" этой "суммы".

Однако, конкретная математика разложения вектора на составляющие в евклидовом (кстати, а почему, собственно, именно в евклидовом пространстве? пространство тоже может быть любым, в том числе и с невклиовой метрикой) пространстве и разложение функции в ряд Фурье (а почему, собственно, именно Фурье? это тоже не единственное разложение функции, которое может быть) - безусловно разная.