На какую цифру оканчивается число 22^ (3003^22) ?

Question

Я смогла понять, что 3003^22 оканчивается на 9, а вот дальше не выходит ( Помогите, пожалуйста, в Интернете не нашла, как работать с такими большими числами

Answer 1

В числе 22^n последние цифры степеней повторяются через 4, как и в степени самой двойки:
2, 4, 8, 6 (16) , 2 (32) , 4 (64) , 8 (128) , 6 (256) и т. д.
Значит, нужно узнать, какой остаток при делении на 4 даёт число 3003^22.
По теореме об остатках, получается такой же остаток, как и у числа 3^22 (т. к. 3003 на 4 даёт в остатке 3) .
Дале, у степеней тройки при делении на 4 остатки чередуются: 3, 1, 3, 1, 3, 1 и т. д. Значит 3003^22 на 4 даёт в остатке 1.

Можно и другим путём это получить, если заметить, что 3003^22 - квадрат натурального числа, а они при делении на 4 дают только остатки 0 и 1. 3003^22, очевидно, на 4 нацело не делится, значит остаток 1.

В последовательности чередований 22^n: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, берём первую цифру последовательности поскольку остаток - 1) - это 2.

Итого, 22^ (3003^22) оканчивается на 2.