докажите, что при натуральных m, n mn (m^4-n^4) делится на 30

Answer 1

30=2*3*5
A=mn (m^4-n^4) = mn (m^2-n^2) (m^2+n^2) =mn (m-n) (m+n) (m^2+n^2)
1. Делится на 2:
Если m или n чётны, то делится, иначе делится их сумма и разность, т. е A тоже
2. на 3
Если ни m, ни n не делятся на 3, то остатки от деления равны либо 1, либо 2.
Если остатки от деления равны друг другу, то m-n делится на 3 (взаимовычитаются)
Если различны, то m+n делится на 3 (складываются, 2=3)
3. На 5.
Если ни m, ни n не делятся на 5, то остатки от деления равны от 1 до 4.
Если остатки от деления равны друг другу, то m-n делится на 5 (взаимовычитаются)
Если различны, то:
Если остатки равны (1 и 4) или (2 и 3) , то m+n делится на 5.
В осталных случаях (1 и 2, 1 и 3, 4 и 2, 4 и 3) сумма квадратов остатков делится на 5 (проверяется легко, равна 5, 10, 20 и 25 сответств. ) , тогда и сумма кадратов m и n делится на 5 (пусть n = 5a+x, m=5b+y, x, y - остатки, тогда (m^2+n^2) =25a^20ax+x^2+25b^20by+y^2=5* (5a^2+5b^2+2ax+2by) + (x^2+y^2) , очевидно, делится на 5) .
 
Получили, что A делится на 2, 3, 5 а, значит, и на их произведение, ч. т. д.
 
Плюсуйте