Линейное пространство. Не понимаю определение

Question

Вот по определению, лп-это множество векторов, которые обладают несколькими свойствами и аксиомами. Вот я прочла пример ЛП и там было сказано, что множество действительных чисел -тоже лп. Но почему? Ведь числа -это не векторы. Или множество функций, определённых на нектоном множестве тоже ЛП. Как так?

Answer 1

При слове "векторы" не надо представлять себе непременно геометрические, то есть, направленные отрезки. Векторы - любые объекты, для которых коректным образом введены две операции: сложение, и умножение на число. Причем эти операции должны приводить к векторам же.

Answer 2

Отвечу через ж (начну с не самого очевидного примера) .
Множество действительных чисел можно рассмотреть как ЛП над полем рациональных чисел с обычными операциями сложения действительных чисел и умножения рационального на действительное) . Получится бесконечномерное ЛП над полем Q. Просто проверьте все аксиомы!

Множество действительных чисел можнотрасамотреть как ЛП над полем действительных чисел (с обычными операциями сложения действительных чисел и умножения, причем, при умножении одно число понимается как элемент поля, а другое - как элемент линейного пространства) . Видимо, в учебнике это и имется в виду. Проверьте все аксимомы!
Аналогично, любое поле можно рассмотреть как одномерное ЛП над собой.

Элемент ЛП называется вектором. Известное Вам определение вектора просто взяли и обобщили: -)
В кач-ве поля на практике чаще всего берут R или C.

Ну и никто вам не запрещает представлять "направленные отрезочки" хоть в функане, если они вам думать помогает. Просто бесконечномерное пространство представить чуть сложне конечномерного.
Конечномерные ЛП одинаковой размерности над одним и тем же полем вобще изоморфны (в некотром смысле одинаково устроены) , так что эти направленные отрезочки думать ничем не мешают, а только помогают.