доказать что диагональ четырёхугольника меньше его полупериметра

Answer 1

Пусть ABCD четырехугольник, и AC одна его диагональ, имем 2 треугольника ABC и ADC
Есть теорема - свойство треугольника, что любая длина любой стороны меньше суммы двух оставшихся

Запишем два неравенства относящиеся к этим двум треугольникам
|AC||AB|+|BC|
|AC||AD|+|DC|
суммируя эти два неравенства, получаем

2|AC||AB|+|BC|+|AD|+|DC|
справа периметр четырехугольника P

т. е. 2|AC|P или |AC|P/2 аналогично и для второй диагонали BD
Q. E. D.