почему при доказательстве теоремы Больцано-Вейерштрасса

Question

Пусть последовательность {Xn} ограничена, то есть существует такой отрезок [a, b] Разделим [a, b] на два равных отрезка. Хотя бы один из них содержит бесконечное множество элементов данной последовательности.
почему хотя один отрезок содержит бесконечно много точек?

Answer 1

Потому что объединение двух конечных множеств конечно.
Если бы каждая из "половинок" разбитого отрезка содержала лишь конечное подмножество элементов последовательности, то и их объединение - тоже.