определитель матрицы. Не произошло ассоциаций : (

Question

Всем привет. Читаю умную литературу (курс линейной алгебры) и уже к восьмому параграфу там активно используются определители матриц . Это прекрасно, много нового, научился считать эти определители. Да вот мой мозг так устроен, что не понимая сути детерминанта, я превращаюсь в обычного зубрящего гуманитария .

Помогите разъяснением, что такое определитель матрицы. Просто везде она описывается как "основная характеристика матрицы", да только что это за характеристика и откуда она вобще взялась нигде не говорится.

Не могло же быть такого, что кто-то просто подумал и решил что если выполнить вот такие действия, то получится классное число, которое потом можно будет и при векторном произведении векторов использовать, и при решении систем уравнений, и ещё много для чего . )

Answer 1

А откуда, например, взялось правило умножения матриц, отчего именно такое, не знаете?
Чтобы понять сущность матриц, надо помнить, что матрица - не просто таблица каких-то чисел, а линейный оператор в векторном пространстве.
Определитель, во-первых, это такое выражение, численное значение которого не изменяется при переходе к другой системе кординат, инвариантно.
Во-вторых, определитель матрицы это произведение е собственных чисел. Кстати, именно поэтому он инвариантен.
Всегда можно подобрать такие кординаты (собственные векторы) , в которых матрица станет диагональной. При этом по диагонали встанут собственные числа, а определитель - просто их произведение.

Answer 2

Значение определителя матрицы нужно знать при решении систем линейных уравнений. Однако само значение определителя не так важно, как тот факт, равен он нулю или не равен. Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных (основная матрица системы) , равен нулю, то такая система или не имет решений (если в правой части есть отличные от нуля свободные члены) , или имет бесконечное множество решений (если все свободные члены равны нулю) . Если основная матрица системы прямоугольная, то для не не существует единственного определителя, сответственно, такая система не имет единственного решения. И то интересное свойство определителя, о котором написал С. Г. По-моему, очень здорово, что Вы во всем ищете смысл и разбираетесь в математике через понимание сути преобразований.