Что обозначает перед работой этот знак? Почему работа без этого знака равняется интегралу работе с этим знаком ?

Answer 1

Приращение (элементарное изменение, так сказать) . И тогда вся работа равна сумме всех её элементарных изменений за некоторое время (например) - интегралу то есть.

Answer 2

Это вариация: Грубо говоря, то же, что и дифференциал, но не для функций, а для функционалов. Ну а где дифференциал, там и интеграл. Взаимобратные операторы как-никак. Ещё нужно знать, где вы учитесь. Действительно вам это нужно, или преподаватель решил выпендриться.