Если подключить паяльник через диодный мостик, то его мощность упадет вдвое? И как это скажется на его работе?

Answer 1

Меньше будет жало выгорать, но толстые дорожки и выводы будет медленно паять. Лучше повесить на входе в паяльник проходной выключатель и закоротить его диодом. Тогда можно будет "регулировать" нагрев)

Answer 2

через мост будет работать без изменений.

Через 1 диод - в половину мощности

больше никаких изменений. Простому паяльнику (без электроники) форма напряжения, частота и род тока - похеру абсолютно