Ув. математики, пожалуйста помогите разобраться! Задаю вопрос 3-ий раз, но видимо сложная задача на определение объема.

Question

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
 y=cos 2x; x=0; x=; y=0 вокруг оси ОХ.
Мое решение следующе:
Я беру интеграл от 0 до пи. Подынтегральная функция cos^2 (2x) dx. Нахожу интеграл = 1/8 (4х+sin (4x) . Для нахождения объема подставляю пределы интегрирования и умножаю на пи. Но преподаватель не соглашается и отсылает. И еще не могу начертить этот самый объем.
ПОжалуйста, помогите, бьюсь уже третий день.

Answer 1

Если решать так, как вы говорите, результат получается правильный.
 
V = п (4x + sin 4x) /8 |0;п =
= п²/2
 
Возможно, преподаватель придирается к каким-то формальным мелочам. Например, странно, что вы на п домножаете потом, а не вносите его в первоначальный интеграл.

Answer 2

У вас интеграл взят похоже не правильно. Это же легко проверить - если возьмете производную от полученного выражения, то вроде cos^2 (2x) не выходит. И потом, начните все же с чертежа функции. На отрезке от нуля до Пи ваша функция дважды пересечет ось Ох, а значит части фигуры лежат в разных полуплоскостях, поэтому надо разбить тело на несколько кусков и находить объем каждого по отдельности. Там можно выбрать за счет равенства фрагментов предел интегрирования от 0 до пи/4. А результат потом умножить на 4.
 
В чем сложность построения чертежа? Как обычно, найдите экстремумы на области определения, постройте график. Косинус - не такая сложная функция.