Раскрытие произведения скобок

Question

Есть n скобок, которые нужно перемножить (x-C1) * (x-C2) *. * (x-Cn) , есть ли формула для вычисления свободного коэффициента и коэффициентоа при всех степенях x, которые получатся после перемножения?

Answer 1

Есть.

Свободный коэффициент - это произведение всех чисел: С1*С2*С3*. *Сn, взятое со знаком "+", если n - чётное и "-", если n - нечётное

Старший коэффициент (при x^n) равен 1.

Следующий коэффициент (при x^ (n-1) равен сумме C1 + C2 + C3 + . +Cn, взятой со знаком "минус".

Чтобы найти следующий коэффициент (при x^ (n-2) , нужно найти всевозможные пары чисел, перемножить их и результаты сложить:

С1*С2 + С1*С3 + . +С1*Сn + С2*С3 + С2*С4 + . +С2*Сn + . +C (n-1) *Cn

Знак оставляется "плюс"

Чтобы найти следующий коэффициент (при x^ (n-3) , рассматриваем всевозможные тройки, перемножаем и складываем. Берём от результата знак "минус".

Для следующего коэффициента нужно найти всевозможные четвёрки. Знак результата - "плюс".

И так дале. Знаки при коэффициентах чередуются. У старшего коэффициента (1) он "+", а затем - +-+и т. д.
У свободного коэффициента он "+", если степень многочлена чётная и "-", если нечётная.

Пример: (x - 1) * (x - 2) * (x - 3) * (x - 4)

При раскрытии скобок получается многочлен четвёртой степени.

Старший коэффициент равен 1.

Коэффициент при х^3 равен сумме 1 + 2 + 3 + 4, взятой со знаком минус, т. е. -10

Коэффициент при x^2 равен сумме произведений: 1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*3 + 2*4 + 3*4 со знаком "плюс", т. е. 35

Коэффициент при x равен сумме произведений 1*2*3 + 1*2*4 + 1*3*4 + 2*3*4 со знаком "минус", т. е -50

Свободный член равен произведению 1*2*3*4 = 24. Знак оставляется "плюс"

Итого имем многочлен x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24

Для проверки подставляем вместо х последовательно 1; 2; 3 и 4 и получаем нуль.