Как определить являются ли числа членами прогрессии с разностью d?

Question

Даны 3 числа. a1, ax, ay. Где a1 - первый член прогрессии. Ax, Ay - два члена данной прогрессии. Необходимо найти наибольшую разность прогрессии (d) удовлетворяющую данному ряду членов.

Пример: Дано A1, Ax, Ay: -2 4 10
Возможные d = 1, 2, 3, 6. Ответ: 6 - наибольше удовлетворяюще d

Answer 1

числа не обязательно целые, надеюсь?

1. отнять a1 из ax и ay
2. применить к ax и ay алгоритм Евклида нахождения НОД. Если числа не целые - получится малость необычно, но алгоритм все равно работает.

У вас в примере ответ получился равный разности ay-ax, это не обязательно, может получаться и меньше.

например, беру числа от балды 1, 15 25. 5
отнимаю 1, получаю 14, 24. 5
применяю Евклида (вычитанием из большего меньшего) :
14, 24. 5
14 10. 5
3. 5 10. 5
3. 5 7
3. 5 3. 5
3. 5 0 - все, получили ноль, значит первое число - искомое основание.

проверяем:
1, 4. 5, 8, 11. 5, 14, 17. 5, 22, 25. 5. -арифм. прогрессия, начинается с 1 и содержит 14 и 25. 5

а вот если ответа нет, если числа несоизмеримые - может получиться и бесконечный цикл.

Answer 2

Вышеприведенные решения мудрены. Имем: ах= 4= а1+д (х-1) = -2+д (х-1) или д (х-1) = 6 (1) . Так же ау= 10= а1+д (у-1) = -2+д (у или д (у-1) = 12 (2) . Из (1) х= 6/д, из (2) у= 12/д. Максимальное значение д, при котором х и у есть целые числа, равно 6.

Answer 3

xd=Ax-A1; yd=Ay-A1; (y-x) d=Ay-Ax; х, у - целые и x y.
Числа {A1, Ax, Ay} должны быть строго упорядочены, иначе это не арифм посл. (напр 1, 2, 2)
Если хоть одно из x/y= (Ax-A1) / (Ay-A1) или x/ (y-x) = (Ax-A1) / (Ay-Ax) или y/ (y-x) = (Ay-A1) / (Ay-Ax) ирационально, то числа - не элементы арифметической последовательности (напр A1=0, Ax=pi, Ay=pi^2) .
Если же не числа в строгом порядке и отношения рациональны, то есть смысл искать d.
Один способ (алгоритм) предложил Mikhail Levin. При желании, можно показать, что задача сводится к поиску несократимой дроби.