какие остатки могут давать числа х^4 при делении на 4, если х - целое число ?

Answer 1

Как всё вечно сложно в школе с этими остатками! Представь x в виде (4a + b) , где b - остаток от деления x на 4.
Докажи, что остаток от деления x^4 на 4 равен остатку от деления b^4 на 4, дальше - см. выше.

Answer 2

1, если число нечетное, или 0, если число четное.
Все проще гораздо. Если число четное, то x=2*N, и x^4=16*N^4 - очевидно нацело делится на 4, остаток равен нулю, а если х нечетное, то x=2*N, и (2*N^4= (4*N^2+4*N* (4*N^2+4*N - очевидно, что все сомножители последнего произведения, кроме 1*1 будут делиться на 4, поэтому остаток будет 1.

Answer 3

любое число представимо в виде (4а+к) , где к=0, 1, 2, 3. возведем это число в 4 степень (4а+к) ^4= (4a) ^4+4* (4a) ^*k+6 (4a) ^2*k^2+4* (4a) *k^3+k^4. первые четыре члена справа делятся на 4, т. е. остаток полностью определяется делением последнего члена. при к=0, остаток 0, при к=1, 1^4=1. остаток 1, при к=2, 2^4=16, остаток 0, при к=3, k^4=81, остаток 1. итак при делении четвертой степени четного числа на 4, получается остаток 0, а при делении четвертой степени нечетного числа на 4, получается остаток 1.