Максимум (минимум) и супремум (инфимум) - в чем разница?

Question

Пример из Википедии: множество чисел больше пяти не имет минимума, но имет инфимум - 5. А почему 5 не минимум?
И как может быть множество минимумов (максимумов) ? Как по мне минимум (максимум) один. И тогда понятия супремума (инфимума) вобще не имеют для меня логики.
 
Объясните, плиз, на примере без математических определений.

Answer 1

минимум и максимум должны достигаться на каком-от элементе множества.
 
если минимум есть - он же и супремум. Но вот если взять множество отрицательных чисел - среди них нет нуля, и максимума среди них нет.
 
для любого отрицательного числа а есть больше отрицательное число, например - а/2.
 
А вот супремум - есть, это ноль.

Answer 2

так в том-то и штука, что максимум - один. Там, где самое большое значение. А инфимум - локальный максимум.
А про множество из пятёрок - это крайность, тут надо точные определения смотреть. Логика не поможет.

Answer 3

Это связано с понятием открытого и закрытого множества. У открытого множества его границы (во всяком случае, некоторые) в само множество не входят, у закрытого - входят. Максимум - это граница множества, принадлежащая этому множеству. Супремум - несколько боле обще понятие - это элемент на границе множества, который множеству может и не принадлежать, но множество неограниченно к нему приближается.
То есть в множестве x<=2 двойка - максимум (и супремум тоже) , а в x2 двойка - только супремум, но не максимум, ибо множеству не принадлежит.
А числа за максимумом (и супремумом) какого-то числового множества вполне могут быть, просто они не принадлежат этому множеству.