Как рассчитали точные значения тригонометрических функций?

Question

К примеру sin (Pi/6) =1/2;sin (Pi/4) = (2^0. 5) /2;
И другие точные ирациональные значения, как пришли к этому? И есть ли ещё значения которые можно записать в сжатом виде, а не в виде бесконечной десятичной дроби?

Answer 1

Ну для начала нашли число Пи. Не знаю, как ОНИ это сделали, но мне приходит на ум, что нужно бы взять довольно большую окружность диаметра порядка метров, а то и километров, измерить е как можно точне, а потом тупо делить длину окружности на диаметр пока не надоест дописывать десятичные знаки. Думаю, головастые математики придумали что-нибудь поумней) Вобще, я думаю, гугл знает ответ на этот вопрос. Стоит поискать например "как вычисляли число Пи"

Answer 2

Некоторые точные значения находят из решения геометрической задачи. Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Так, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой равной 1 и острыми углами 45 градусов имем длину катета 1/корень (2) . Вот отсюда и "точное" значение. Синус 30 = 1/2 из равенства треугольников и т. п. Для подобных вопросов очень удобно работать с окружностью единичного радиуса с центром в начале кординат. Угол берем между любым радиусом и осью Ох. Проекция точки пересечения радиуса с окружностью на ось Х - это косинус угла, на ось У - синус угла.

Поскольку функция синус непрерывна, то, очевидно, что она пробегает в т. ч. и все рациональные числа из отрезка от -1 до 1, которые можно представить в виде дроби n/m где n, m - целые. Ну и все другие числа, в т. ч. и ирациональные, которые можно себе представить с помощью корней и других операций - главное, чтобы в отрезок попадали.