Как правильно говорить, если пришли - "чем обязан" или "чему обязан"?

Answer 1

Можно и так, и эдак. Но только с вопросительным знаком. Смысл существенно разный, поскольку опускаются разные слова.
"Чем обязан? " - сокращенное "Чем я Вам обязан? " Интеллигентная форма вопроса "Сколько с меня? "
"Чему обязан? " - сокращенное "Чему я обязан Вашим ["или вашим"] посещением? " Фактически это свидетельство явного неудовольствия от нежданного визита и вежливое предложение визитерам канать поскоре из Вашего дома.