Верна ли теорема Ферма?

Answer 1

Теорема.

«Если уравнение x 2 + y 2 = z 2 (1) имет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение x n + y n = z n, где n 2 (2) не имет решений на множестве целых положительных чисел. »
 Доказательство.
А) Всем известно, что уравнение (1) имет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел. Докажем, что ни одна тройка пифагоровых чисел, являющаяся решением уравнения (1) , не является решением уравнения (2) .
На основании закона обратимости равенства, стороны уравнения (1) поменяем местами. Пифагоровы числа (z, х, у) могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника, а квадраты ( x 2, y 2, z 2) могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на его гипотенузе и катетах.
 
Доказательство теоремы Ферма
Площади квадратов уравнения (1) умножим на произвольную высоту h:
 z 2h = x 2h + y 2 h (3)
Уравнение (3) можно трактовать как равенство объема параллелепипеда сумме объёмов двух параллелепипедов.
Пусть высота трех параллелепипедов h = z:
z 3 = x 2z + y 2z (4)
Объем куба разложился на два объема двух параллелепипедов. Объём куба оставим без изменений, а высоту первого параллелепипед уменьшим до x и высоту второго параллелепипеда уменьшим до y. Объём куба больше суммы объёмов двух кубов:
z 3 x 3 + y 3 (5)
На множестве троек пифагоровых чисел (х, у, z) при n = 3 не может быть ни одного решения уравнения (2) . Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел невозможно куб разложить на два куба.
Пусть в уравнении (3) высота трёх параллелепипедов h = z 2:
z 2z 2 = x 2z 2 + y 2z 2 (6)
Объем параллелепипеда разложился на сумму объёмов двух параллелепипедов.
Левую сторону уравнения (6) оставим без изменения. На правой его стороне высоту z 2 уменьшим до х в первом слагаемом и до у 2 во втором слагаемом.