Как решать подобные неравенства?

Answer 1

Конструируете подходяще выражение (общих правил трудно предложить - нужен навык)
для первого вспоминаете разложение в ряд логарифма.
сумм ( i=1, беск, (x^ (i-1) /i = x* (ln (1+x) -1) ) . Интегрируете. Дальше собразите, что надо положить х=1 и отбрасывается положительная часть.
А второй, действительно, прямой оценкой.

Answer 2

со вторым-то все ясно: всего N членов, все меньше либо равны 1/2N, так что сумма меньше либо равна N* (1/2N) =1/2 - так что оно верно всегда.

с первым сложне:
есть знаменитый "ряд Эйлера" 1/2^2 + 1/3^2 + . Эйлер показал, что его сумма равна Пи^2/6~1. 645
у вас ряд без первой единицы, его сумма Пи^2/6 - 1 ~ 0. 645. То есть неравенство тоже выполняется всегда.