Как найти хорду, зная высоту дуги и её длину?

Question

Нашёл какие-то формулы, но присёл на синусах и арксинусах, не смог подвести всё под одну гребёнку.
Никакие бесполезные на практике радиусы и углы мне не нужны. Необходима зависимость именно этих 3х параметров.

Answer 1

Вашу задачу тяжело решить в общем виде.
Пусть дана окружность с центром O. AB - хорда. M - середина хорды, K - середина меньшей дуги AB, т. е. KH - высота дуги (сегмента) . Пусть дуга AB = L, высота KH = h, AB=x. x можно найти двумя способами, но с участием радиуса.
1) Из прямоугольного треугольника AMO. AM^2=AO^2 - MO^2,
 (x/2) ^2=R^2 - (R-h) ^2
 (x/2) ^2= h* (2R-h) (*)
2) Из прямоугольного треугольника AMO
 x/2 = AO * sin (AOM) = R * sin (AOM)
Чтобы найти AOM составим пропорцию
угол AOM сответствует дуге длиной AK = L/2
угол круговой (360 градусов или 2п радиан) сответствует длине всей окружности, т. е. 2пR
AOM/2п = L/ (2*2пR)
Значит AOM = L/2R (радиан)
В предварительном. итоге:
x/2 = R* sin (L/2R) (*)

3) Получаем систему из двух уравнений (*) и (*) из которых нужно исключить R. Удобне сначала убрать x. Возведем обе части * в квадрат и приравняем с *. Разделим все на R^2

 (sin (L/2R) ^2 = 2h/R - (h/R) ^2 (*) Уравнение относительно R. Есть два пути.

A) Если у Вас есть конкретные числовые значения L и h, то можно задать (*) уравнение программе (самому написать программу или найти в интернете) , чтобы определить конкретное R, а потом подставить его в уравнение * , чтобы посчитать x.

Б) Разложите (sin (L/2R) ^2 в ряд Тейлора. Чем больше членов ряда, и чем меньше сотношение L/2R, тем выше будет точность. Полученное уравнение решите, относительно R. Другого способа найти зависимость в общем виде, я не знаю. В любом случае это долго и достойно отдельного вопроса. Путь A проще, если только Вы не выводите общую формулу. Но даже в пути Б. будет погрешность.