(Матан 1 курс) Помогите разобраться с вычислением объема с помощью интегралов пожалуйста!

Answer 1

3x+2y=12; 3x+y=6; - Это две вертикальные стенки.
 x+y+z=6; при z=0 имем x+y=6 это след наклонной плоскости, до которой надо интегрировать.
Однако, только рассмотрев эту плоскость вместе со стенками, можно увидеть, выше или ниже основной плоскости (которая задана как z=0) будем интегрировать.
Вобще x+y+z=6;проходит ближе всего в 1-м верхнем октанте, то есть в этом октанте лежит вектор, задающий плоскость в векторной форме (перпендикуляр, опущенный на неё из центра кординат) . Но плоскость может встетится с обеими стенками выше или ниже z=0.
Смотрю на картинку, все грамотно нарисовано. Нужен объем среднего куска пирамидки, и надо выбрать удобную внешнюю переменную интегрирования, чтобы ориентируясь на неё, правильно выбрать функции, которые будут вычислять текущие пределы для внутреннего интеграла.
Например, поскольку стенки вертикальны, интегрируем столбики
z = f (x, y) =6-x-y по площадям dS=dx*dy (в кординатах х, у) , заключенным между стенками. Это удобне сделать не полосками вдоль y, а полосками вдоль x. то есть при некотором постоянном y интегрируем пластину по х и пределы определяем как х=g (y) . Первая пластина при у=0 последня при у=6.
Это пределы наружного интеграла. Для внутреннего
нижний предел (стенка ближня к оси у) x = (6-y) /3,
верхний предел (стенка дальня от оси у) x = (12-2y) /3.
Int f (x, y) dS = Int (Int (6-x-y) dx) dy
Вычисля внутренний интеграл считаем y постоянной, получаем выражение с х, у, вместо х подставляем пределы, и х исчезает, дальше работаем только с у. Объем =12.