Каким образом алгебраически доказали, что число в минус первой степени это обратное самому себе число?

Answer 1

Это определение. Доказывается его единственность. То есть, они заране подбирают набор требований, которым только это определение удовлетворяет, а потом умно доказывают нам задом на перёд, что это определение единственное.

Answer 2

вобще-то не доказали, а ввели по определению. если при умножении степени складываются, то есть умножение сотвтествует сложению, то деление - вычитанию.

все логично:
а^1 * a^ (-1) =a^ (1-1) =a^0 = 1