можно ли умножать на ноль. как это можно проверить\доказать

Answer 1

Можно доказать, что для любого числа М произведение М * 0 = 0 . Для этого достаточно иметь определение нуля: а + 0 = а, а также распределительный закон умножения.
Из определения следует, что а - а = 0
Вот короткая цепочка доказательства: М * 0 = М * (а - а) = М * а - М * а = 0.

Answer 2

А не нужно ничего проверять и доказывать. Есть система аксиом Пеано, в которой определены операции сложения и умножения. В том числе и умножения на ноль. Эта система непротиворечива. Аксиомы не доказывают. Дальше можно полученные результаты использовать везде, где потребуется.