Как правильно говорить: приехал первый или приехал первым? Под какое правило подпадает этот случай?

Answer 1

Оба варианта имеют место быть.
Приехал первым (тв. п. ) - например: Городничему докладывают, что в город приехал ревизор.
Приехал первый (им. п. ) - например: Сегодня приехал первый мой заказ .
Все зависит от контекста.

Answer 2

Склонения - это "фишка" древних примитивных людей. Поэтому, если мы хотим передать наши эмоции, то склоняем: "приехал первым". А если нам важна чисто передача информации, то не склоняем: "приехал первый".

Вобще, "склонения" тоже нужны для улучшения передачи информации, но не в данном случае. Вроде