Задачи по высшей математике, дифф уравнения

Question

Тело массой m=1 движется прямолинейно. На него действует сила, пропорциональная времени, протекшему от момента, когда V=0 (коэффициент пропорциональности 2) . Кроме того, тело испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности 3) . Найти скорость в момент t=3 сек.

Хелпаните, пожалуйста

Answer 1

уравнение движения тела ma=F-Fc, где приложенная сила F=k1*t=2t, сила сопротивления Fc=k2V=3V=3x`, ускорение а=x`` и масса m=1. получаем диф уравнение x``+3x`=2t. его решение равно сумме общего [x] и частного (x) решений x=[x]+ (x) . находим обще решение. обнуляем правую часть и составляем характеристическое уравнение q^2+3q=q (q+3) =0. его корни q1=0, q2=-3, следовательно обще решение имет вид [x]=C1*e^0+C2*e^ (-3t) =C2*e^ (-3t) +C1. ищем частное решение методом неопределенных коэффициентов. т. к. один из корней характеристического уравнения равен 0 и справа стоит функция f (t) =2t, то решение ищем в виде (x) =t (At+B) =At^2+Bt. находим первую и вторую производные и подставляем в исходное уравнение. (x) `=2At+B, (x) ``=2A, 2A+6At+3B=2t, отсюда A=1/3, B=-2/9 и частное решение принимает вид (x) =t^2/3-2t/9. полное решение x=C2*e^ (-3t) +t^2/3-2t/9+C1. скорость равна первой производной х по времени, т. е. V=x`=-3C2*e^ (-3t) +2t/3-2/9. при t=0, V=0, тогда 0=-3С2*e^0-2/9, отсюда С2=-2/27 и V=2/9*e^ (-3t) +2t/3-2/9=2/9 (e^ (-3t) +6t-1) . подставляй сюда t=3c и считай.