Каким образом был получен класс комплексных чисел?

Answer 1

По-русски, но предупреждаю, что историю вопроса знаю плохо: алгебраические уравнения с действительными коэффициентами люди решали, потребность в комплексных числах появилась - комплексные корни "красивыми свойствами" обладали с т. зр. разложения многочленов на множители.
Вот что это означает не по-русски: комплексные числа образуют алгебраическое замыкание поля действительных чисел, оно существует и единственно с точностью до изоморфизма. Но это не значит, что нельзя ввести для комплексных чисел другое определение.

Сейчас в учебниках определяют комплексные числа через пары действительных чисел; значит, так удобне.