Почему правильный ответ A, разве сказать через B будет ошибкой?

Answer 1

Дело в том, что dancing — это герундий.
Такой формы глагола в русском языке нет, и передается она и существительным, и депричастием, и глаголом в личной форме, и придаточным предложением, и — как в данном случае — инфинитивом.
В русском-то это инфинитив, а вот в английском — герундий, и пишется он с ing-овым окончанием и без частиц.
Если выбрать предложенный Вами вариант "В", то рядом будут стоять два глагола в неопределенной форме — получится нелепица. Поэтому этот вариант и неверен.

Answer 2

Чисто грамматически, возможно (! ) , ошибкой не будет, но две частицы to подряд ('to go to dance') воспринимаются негативно. Американцы в случаях, когда по-другому сказать трудно, вместо второй to часто употребляют and (I need to begin and work on that)