Почему в рациональных функциях нельзя поднимать в переменную степень?

Question

+, -, * и / можно а поднять в переменную степень (показательная функция) нельзя, только в постоянную. Почему? Если определение рац функции давалось исходя из основных операций то сумма истинно основная операция. Из не можно получить минус (ну и вобще для отрицательных чисел) а так же несколько раз (определенное количество раз) получить умножение на постоянную (но не переменную иначе это сумма самой себя переменное раз а не определенное) . Если это позволено то почему нельзя позволить и умножение самой себя переменной число раз (то есть поднять в переменную степень) ? В чем суть такой классификации (различия) функций?

Answer 1

Дело в том, что рациональные функции выделены в класс рациональных потому, что любая такая функция над рациональным аргументом (или рациональными аргументами, если их несколько) приводит к результату - рациональному числу, т. е. отношению двух целых чисел.

Рациональные функции, как верно замечено - это функции, содержащие конечное число операций сложения, вычитания, умножения и деления. Иначе - это в общем случае алгебраические дроби. Поэому, какое бы рациональное число ни взять в качестве аргумента такой функции, результат опять-таки окажется рациональным (за единственным исключением - делением на ноль, когда результат не определён) .

Всякие иные функции, в том числе, возведение в переменную степень рациональными не являются, потому что результат при рациональном аргументе может не быть рациональным числом.

Степень числа, как умножение самого на себя несколько раз, определяется так только для натуральных показателей (и это уже рациональная функция, т. к. состоит из конечного числа операций умножения) , а вот если показатель степени не является натуральным, то степень так определять нельзя, потому что нельзя, например, умножить 2 само на себя полраза. Для отрицательных, дробных и ирациональных показателей она была определена по-другому, но это определение оказалось удобным, потому что основные свойства степеней сохранялись.

Но вот если дана степень с рациональным основанием и рациональным показателем, то в результате могло получиться число ирациональное. Поэтому и показательную функцию (с переменным показателем) нельзя считать рациональной.