Теорема Пифагора Трёхмерная пространство

Question

Все мы знаем теорию Пифагора.
Тем кто не знает:
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая сотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
В древнекитайской книге Чжоу би суань цзин (англ. ) (кит.

Answer 1

Обычная теорема Пифагора легко обобщается и на случай трёхмерного пространства. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню квадратному из суммы квадратов трёх его измерений. Если размеры параллелепипеда a, b и c, то его диагональ d равна d = sqrt (a^2 + b^2 + c^2) . Доказательство легко можно вывести из обычной теоремы Пифагора на плоскости. Для этого достаточно увидеть, что диагональ основания параллелепипеда, которая равна гипотенузе прямоугольного треугольника, катетами которого являются размеры основания параллелепипеда, является в то же время катетом другого прямоугольного треугольника, другим катетом которого является третий размер параллелепипеда, а гипотенузой - искомая диагональ. Таким образом, обычная теорема Пифагора на плоскости применяется дважды. Подобным же образом формула обобщается для случая четырёх-, пяти- и вобще любого n-мерного пространства. Если в n-мерном пространстве имется n-мерный параллелепипед, то его диагональ равна корню квадратному из суммы квадратов всех его измерений.

Answer 2

Если интересен бесконечномерный случай, то теорема Пифагора вобще работает в произвольном сепарабельном гильбертовом пространстве. Она там называется "равенство Парсеваля".