Помогите решить задачку Есть два натуральных числа

Question

Есть два натуральных числа, одно разность квадратов двух нечетных чисел, другое сумма квадратов. Доказать, что число 4 не является их общим делителем

Answer 1

Красивое док-во у IQ! Вот ещё одно. Достаточно док-ть, что сумма квадратов двух нечётных чисел не делится на 4. n= a^2+b^2= (a'^2+ (b'^2= a'^2+b'^2+2 (a'+b') +2. (Здесь a' и b' - предыдущие к a и b чётные числа) . Первые три слагаемые в правой части равенства делятся на 4; значит, сумма в целом "из-за двойки" не делится на 4.

Answer 2

Будем рассуждать от противного. Будь 4 их общим делителем, на 4 делились бы также и их сумма, и их разность. То есть их полусумма и полуразность делились бы на 2 (были бы четными) . Между тем их полусумма и полуразность - это, согласно условию, не что иное, как квадраты двух нечетных чисел, а значит, и сами они нечетны.