Избавться от сложного радикала (объясните алгоритм решения пожалуйста)

Answer 1

Здесь нужен не алгоритм решения, а алгоритм придумывания решения. У меня срабатывает рефлекс: вижу кубические корни, сразу хочется применить формулу сокращенного умножения, в которой есть кубы. Там есть всякие произведения, а я терпеть не могу длинные формулы, поэтому заране произведение кубических корней посчитал.

a и b - эти кубические корни.
Заметим, что: a^3 + b^3 = 52, а еще ab = 1, что намекает! Сделаю так:
 (a+b) ^3 = (52 + 3 (a + b) *ab) = 52 + 3 (a+b)

Заменим a+b на x (нам ведь его и нужно найти) , имем
x^3 - 3x - 52 = 0, откуда по теореме Виета подбираем единственное действительное решение x = 4, а остальные получаются комплексные.