Как найти уравнение наклонной асимптоты вида: y= kx+b , для функции, заданной неявно?

Question

Если функция задана явным образом, то нужно работать по определению. Иногда всё-таки можно явно выразить зависимость y от x . А когда это нельзя сделать, как поступить?
 
К примеру, для функции: y^3+x*y+3=0

Answer 1

Найдя частные производные, найдем градиент к кривой в точке. Посчитаем отношение его первой компоненты ко второй и заменим у=кх. При х -> бесконечности это отношение должно стремиться к -к.
 
Например, х^2 - ху + 1 = 0
Градиент (2х - у, -х) . Отношение -2+у/х, (при у=кх) -2+у/х = -2+к = -к, к = 1
 
у^3 + ху + 3 = 0
 (у, 3у^2+х) у/ (3у^2+х) 1/ (3кх/к) =-к к^2=-2/ (3х) , к=0
 
Найти свободный член можно подставля значения на асимптоте в саму функцию
 
В реальности все может быть несколько сложне, в конце концов неявная функция не всегда однозначная функция у от х, функция может обладать другой асимптотой при х -> -бесконечности, и т. п, но идея, я думаю, совершенно понятна - искать асимптоту можно приравнивая в пределе градиент функции градиенту асимптоты.