Зачем придумали мнимое число?

Answer 1

Существует масса применений этому. Например решение кубических уравнений, есть способ решения при котором бывает необходимо извлекать корень из отрицательного числа, потом снова идет домножение на этот корень и он исчезает, но если бы нельзя было извлекать корень из -1, то все бы застопорилось бы на начальном этапе. Так же комплексные числа вылезают очень часто в физике. И у них есть физический смысл. Например теория колебаний, там они часто используются для упрощения вычислений. Так же без комплексных чисел не обойтись при описании процессов происходящих на скоростях близких к скорости света, те они имеют применение в Специальной Теории Относительности (если интересно посмотрите на интервал пространственно подобного промежутка) . Так что применений масса, без них никак.

Answer 2

Придумали затем, чтобы операция извлечения корня была всегда выполнима.

Вот посмотрите. Когда-то люди знали только натуральные числа. У древних римлян даже нуля не было. Но вычитание в рамках натуральных чисел не всегда выполнимо. Расширили множество чисел до целых (то есть добавили ноль и отрицательные числа) . Вычитание стало всегда выполнимо, но деление - по-прежнему нет. Скажем, в рамках целых чисел нельзя 5 разделить на 2. Расширили множество чисел еще, то есть перешли от целых чисел к рациональным. Деление стало всегда выполнимо, но извлечение корня - по-прежнему нет. Среди рациональных чисел нет такого, которое являлось бы квадратным корнем из двух, например. Добавили ирациональные числа. Теперь из любого положительного числа стало можно извлечь корень, а из отрицательного - всё еще нет. Добавили мнимые числа, и вот только после этого все арифметические действия (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень и извлечение корня) стали выполнимы для любых чисел (ну, кроме деления на ноль, разумется) .

Answer 3

Очень часто приходится работать с ними в электронике. Например используя только действительные числа сложно изобразить вектор, изображающий ток, отстающий или опережающий по фазе напряжение, в этом случае используют дополнительную числовую прямую, перпендикулярную действительной, пересекающуюся с ней в точке 0, т. е. числовую прямую мнимых чисел, это позволяет считать цепи с реактивной нагрузкой, при этом с лёгкостью определять как угол сдвига фаз, так и мгновенное значение напряжений и токов, а заодно при необходимости выделять активную и реактивную составляющую нагрузки.