Докажите что при любом целом x значение выражения x^3 +3x^21x+3делится на 3

Answer 1

x^3 +3x^21x+3 = x (x^2 1) + 3 (x^2 + 1)

Второе слагаемое делится на три при любом целом х, потому что в нем есть сомножитель 3.

Остается разобраться с первым слагаемым. Любое целое число х может быть представлено либо в виде 3m, либо в виде 3m + 1, либо в виде 3m + 2.

Если х = 3m, то первое слагаемое делится на три, потому что в нем первый сомножитель делится на три.

Если х = 3m + 1, то второй сомножитель в первом слагаемом равен

x^2 1 = (3m + 1) ^2 + 11 = 9m^2 + 6m + 12 = 3 (3m^2 + 2m + 4) ,

то есть делится на три.

Наконец, если х = 3m + 2, то второй сомножитель в первом слагаемом равен

x^2 1 = (3m + 2) ^2 + 11 = 9m^2 + 12m + 15 = 3 (3m^2 + 4m + 5) ,

то есть тоже делится на три.