Question

Как правильно будет: "Кто будет записываться в выходные дни" или "Кто будет записываться на выходные дни" ?

Answer 1

Записываться в выходные дни - значит, записываться на что-то тогда, когда наступят выходные дни.
Записываться на выходные дни - значит, записываться на что-то, происходяще в выходные дни.

Answer 2

смотря какова цель вопроса, они же по смыслу разные
записаться в выходной, т. е. позвонить в выходной и записаться на последующие дни
или записаться на выходной, т. е. уже придти в выходной по записи