Если существует хоть одна верхня (нижня) граница, то верхних (нижних) границ бесконечно много. Почему?

Answer 1

Потому, что если к верхней границе прибавить произвольное положительное число (которых бесконечно много) , то получится тоже верхня граница, потому, что если любой элемент данного множества меньше верхней границы, то он и подавно меньше того, что получится, если к верхней границе прибавить положительное число.
Здесь - свойство транзитивности неравенства: если a b и b c, то a c.
Здесь a - любой элемент множества, b - верхня граница множества, c - любое число, больше b (которых бесконечно много) . Поскольку любой элемент a данного множества меньше с, то с - верхня граница.
Аналогично - с нижней границей.

Вот простой пример с нижней границей. Пусть дано N - множество натуральных чисел (1; 2; 3 и т. д. ) . У него есть нижня граница, например, 0, потому что любое натуральное число больше нуля. Но если мы возьмём любое число, меньше нуля, например, -5, то оно тоже будет нижней границей: 1 -5; 2 -5; 3 -5 и т. д. - для всех натуральных чисел. Если мы возьмём, например, -10, то это тоже будет нижней границей и т. д. - таких чисел можно взять сколько угодно. Все они получаются из той нижней границы, которая существует по условию (в нашем примере - 0) путём вычитания произвольного положительного числа.